矩陣等價(jià)意思是：在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個(gè)m×n階矩陣A和B，如果這兩個(gè)矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說，存在可逆矩陣（P、Q)，使得A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。
一、矩陣等價(jià)性質(zhì)
1.矩陣A和A等價(jià)(反身性）；
2.矩陣A和B等價(jià)，那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性）；
3.矩陣A和B等價(jià)，矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)（傳遞性）；
4.矩陣A和B等價(jià)，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))
5.具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣，它們的等價(jià)性也可以通過以下條件來表征：
（1）矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。
（2）當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí)，兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。
二、矩陣等價(jià)證明
a1,a2,....an,線性無關(guān)，而a1,a2,....an,b,r線性相關(guān)，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,則x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,說明a1,a2,...an,b線性相關(guān)，同理x=0,可得a1,a2,....an,r線性相關(guān)。
若x,y都不為零，兩邊除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,這表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可證明r可以用a1,a2,....an,b表示。這就說明a1,a2,....an,b與a1,a2,....an,r等價(jià).綜合可得命題得證。
當(dāng)A和B為同型矩陣，且r（A）=r（B）時(shí)，A，B一定等價(jià)。
